「put (lay) one's head on the block」は、「（困難なことを）失敗を承知でやる」「危険なことに身をさらす」という意味になります。「block」と言えば、おもちゃや建築用のブロックを思い浮かべますが、「断頭台」の意味もあるのです。断頭台にわざわざ自分の頭を置くのですから、相当危ないわけですね。