これは「乾いたのどを潤す」という意味。たとえば“Boy, I'm thirsty. I think I'll stop in here to cut the dust.”「あー喉からから、ここで何か飲んで行こうかな(喉を潤すために)」のように。

発音ポイント

[cut - the - dust]は[cut]の[t]と[the]を一緒にする感じで[カッダァ]のように発音し、それに[dust]を[ダァスト]といった感じで添えるように言うといいです(音声1参照)。

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