【「彼女のことはあきらめた」というときのアブナイ英語】I gave her up.
【こんなふうに聞こえるかも】(不自然に聞こえる)
【ネイティブが使う英語】I gave up on her.

give upは既に行っていることを「やめる」という意味ですのでI gave her up.では不自然です。I gave up on her.と言います。(「見捨てる」という意味もあります。)