iPhone標準装備のメールアプリは、iCloudメール(XXXX@icloud.com)の専用ツールではありません。一般的に利用されるメールプロトコル(POP3/IMAP4)を利用したメールサービスであれば、そのほとんどは標準メールアプリを利用して送受信できます。
しかし、メールの受信をリアルタイムで把握できるのはiCloudメールだけです。メールの受信パターンは「プッシュ」と「フェッチ」の2種類があり、前者はメールサーバが受信を認識すると通知を送り、後者はメールアプリが一定間隔でメールボックスに新着メールを問い合わせる形で実現されます。標準メールアプリでプッシュ受信が可能なのはiCloudメールだけ、他のメールサービスはすべてフェッチ受信です。
Gmailも同様です。Gmail自体はプッシュ受信に対応したサービスですが、それはiPhoneではGmailアプリを利用しているときに限られます。iCloudメールにアカウントを登録した場合、他のメールサービス同様のフェッチ受信となります。
フェッチ受信もそれほど不便を感じるものではありませんが、メールチェックの間隔は最短15分になるため、急ぎのやり取りには適していません。メールの送受信は標準メールアプリに一本化したいけれどiCloudメール以外のメールサービスをプッシュ受信したい、リアルタイムで着信を知りたい、という場合には困りますよね。
そんなときは、「設定」→「メール」→「アカウント」→「データの取得方法」画面にあるフェッチの方法を「自動」に設定したうえで、iPhoneをWi-Fiと電源に接続した状態にしましょう。プッシュ受信のようにリアルタイムとはいきませんが、着信から1、2分以内という"ほぼほぼリアルタイム"の受信通知が届くようになりますよ。