iPhoneの画面中央でぐるぐる回るアレとは、ほかになにも表示されていない画面の中央で回転する「スピニング・ホイール」のことでしょうか? 日本のベテランiPhoneユーザにとっては、回転する歯車のようでありつつもクイズ・タイムショックの時計台を思わせる表示効果ですが、なにか処理をしているのだろうな、ということは察しがつくはずです。
この黒画面のスピニング・ホイールは、システムがなんらかの処理を進めていることを意味します。それもグラフィカルなユーザインターフェイス(GUI)が動作していない状態、見方を変えれば操作不能の状態です。
iOSでは、「Darwin」と呼ばれるUNIX由来のシステムの上で、SpringBoardなどのGUIを司るプログラムが動作しています。GUIが停止していてもシステムは稼働し続けることができますが、操作できず画面の変化も確認できないユーザにとっては、"画面が固まった"状態は不安要素以外の何者でもありません。だから、GUIは停止しているけれどシステムは稼働中のとき、スピニング・ホイールを表示してシステムが健在なことをユーザに示すというわけです。
スピニング・ホイールが現れた場合、ユーザができることは特にありません。処理中のタスクが完了し、次のプロセスへ進むのを待つだけです。しばらく待てば、SpringBoardが起動され平常どおり操作できる状態になるか、システム終了(電源オフ)へとプロセスが進むはずです。
長時間スピニング・ホイールが続く場合は、なんらかの原因でシステムが正常に動作しなくなっていると考えられるため、iPhoneの強制再起動(強制終了)を検討しましょう。8以降のiPhoneの場合、USBケーブルを外した状態でiPhoneの左側面にあるボタンを上(音量アップ)、下(音量ダウン)の順にそれぞれ押したあと、右側面のサイドボタンを長押しすればOKです。