Moonlightは「月光、月明かり」のことですが、これが口語で動詞として使われると、「副業をする、アルバイトをする、内職をする」という意味になります。日本的に考えると、月明かりの暗い中で封筒を張ったりする昔ながらの内職というイメージになりますが、そういった暗く貧しい感じはとくに無く、恐らく日中は正規の仕事を持っているため副業を行うのは専ら夜だから、ということから生まれた表現のようです。