定理をいきなり思いつくってホント? - 「数学者」に話を聞いてみた

「数学者」と聞くと、オイラーやガウス、ラマヌジャンといった歴史上の天才数学者たちが頭に思い浮かび、「数学者たちの頭の中って、いったいどうなってるんだろう?」と、つい考えてしまう。凸幾何学およびポテンシャル論を専門とする数学者である宮崎大学 教育文化学部(2016年4月から教育学部に改組予定) 数学教育講座の坂田繁洋 講師にお話をうかがい、その実態に迫った。

「数学者」を志したきっかけ

―「数学者」と聞くと、小さいころからすでに数学がものすごく得意だったのではというイメージがあります。中高時代、数学は好きでしたか?

私はむしろ、中学1～2年生のころは苦手なほうでした。文章題が解けなかったんです。数学にハマったのは、それまで通っていた塾を変えて、新しい先生に教えてもらうようになってからですね。特に、三平方の定理がおもしろいと感じました。補助線の引き方を1本見つけられると一気に問題が解けるというところが、ある種のゲーム感覚というか。

―大学では「数学科」で学ばれていたそうですが、多くの学科のなかから数学科に進学しようと思った理由を教えてください。

もともと学校の先生になりたかったので、高校2年の文理選択の際には、教育学部に行くために文系に進もうと思っていたんです。そうしたら先生たちに「お前はどう考えても理系だろう」と言われてしまい(笑)、理学部や工学部でも教員免許が取れるとのことなので、理系に進みました。さらに、数学科に在籍しているという予備校のティーチングアシスタントの先生から、数学科では数学をたくさん勉強できるうえに、教員免許も取れるという話を聞いて「こんなにおいしい話はない!」と、数学科への進学を決意しました。

―教員志望だった坂田先生が研究者の道へ進もうと思ったのは、いつ、どうしてですか?

高校3年生のとき、予備校の先生から「πとeはそれぞれ無理数だけど、これらを足した“π＋e”が有理数なのか無理数なのかということはいまだにわかっていない^※。この問題を解けたら世界中に名前が知られることになる」と教わった際に、「こんなに素朴な問題がまだ残っていて、これを解くだけで賞賛されるなんて、数学の研究はすごい」と感じました。それと同時に、このまま学校の先生になったら高校数学までの世界のなかで考えなければならないと思い、とても窮屈な気持ちになりました。大学で数学を勉強して学者になれば、いくらでも新しいことを発見し続けられるというところに可能性を感じて、そのころから大学院の博士課程に進むことを考えるようになりました。

※1+πと1-πはともに無理数だが、(1+π)＋(1-π)＝2は有理数。無理数＋無理数は無理数とは限らない。

高校数学と大学数学の壁

―高校数学と大学数学はまったく違うものだ、という話を聞いたことがあります。坂田先生は高校と大学の「壁」を感じることはありましたか?

はい、大学1年生のゴールデンウイーク前にさっそくその壁にぶち当たりました。そもそも、大学生は授業に出なくてよいものだというイメージを抱いていたので(笑)、授業が始まったばかりのころはサボっていました。授業が本格化したころを見計らって出席しはじめたのですが、すでにちんぷんかんぷんでした。講義形式と演習形式の授業がありましたが、どちらも大学受験のときとは全然別の感覚で、巻き返しを図ろうと思ってもまったく身に付いてこないんです。課された演習問題に2日～3日かけても解けないことは日常茶飯事でした。そこで先生のところに「3日考えたのに解けなかったのでヒントをください」と相談に行ったのですが、「3日で解けないなら、3カ月あれば解けるんじゃない? 大学の数学とはそういうものだよ」と言われてしまった。高校までは限られた時間のなかで問題を解くという"処理能力"を問われていたけれど、大学は学問をやる場所なのでしっかり理解しなければならないということに気づきました。

それからは、講義ノートを読み返したり、問題を解いたりと、休日はカフェや図書館にこもって1日10時間くらい勉強しましたね。こうして大学1年生前期の段階で一生懸命勉強したことで、数学に対する心構えと習慣が身に付きました。

―数学に対する心構えと習慣とは、具体的にどういったものでしょうか?

高校数学の場合、ひとつの問題に対して、5分～10分考えてわからなかったら解答をみて解法を覚えるというような勉強の仕方があると思います。私はそうでした。そうではなく、5分～10分考えてダメならいったん心を落ち着けてもう一度問題文を読んでみようとか、それでもダメなら明日またチャレンジしよう、といったように、気長にひとつの問題について考えることでしょうか。

ちなみに「3カ月あれば解けるんじゃない?」と先生に言われた問題は、その後1週間ほど考えたら解けました。やはり、高校までの習慣がよくなかったと思います。数十分の制限時間内に問題を解くことが求められる高校数学では、少し計算が込み入ってくると自分の方針が不安になってきて、そこで手を止めてしまう。しかし、この問題では、面倒な計算でも、気長に計算して押し切ったら解けるのではないかと考えました。演習形式の授業のなかで、黒板の端から端まで使って説明することになりましたが、私の考えた解答で合っていました。

三角形の公園をいちばん明るく照らすには?

―学部生のころにそうして数学の基礎知識を身につけていった後は、誰も解いたことのない問題、いわゆる論文になるような問題に挑むことになると思うのですが、それはいつごろでしたか？

修士1年のときです。セミナーで、指導教官が仕入れてきた問題を後輩に紹介していたのですが、それを自分でも考えてみたんです。後輩は解く気がなかったし、先生も問題を出したことを忘れていたのですが(笑)、試行錯誤の跡を先生に見せた際に、これを修士論文のテーマにしようということになりました。

―それはどういった問題だったのでしょうか?

文部科学省の学習到達度調査(PISA)にあったものなのですが、三角形の公園に街灯を一本立てる際、どこに街灯を立てるのがよいかという問題です。PISAの解答は、「外心(外接円の中心)」だったのですが、それでは納得できず、公園をいちばん明るく照らす「灯心」という新しい中心を考えた研究者がいました。

私は、三角形だけでなく、ほかの図形の場合も考えることにしました。数学者はまず、そもそも「灯心」というものはいつでも存在するのかどうかということを考えます。これは早々に解けたのですが、修士論文のメインの結果とするには弱かった。そこで「灯心」が存在する場合、果たしてそれはひとつだけだろうかということを考えました。灯心を2個以上もつ公園が存在することはわかっていたので、この考察には意味があります。その結果、公園が線対称でかつへこみがない(凸領域)ならば、灯心は公園の対称軸上にひとつだけ存在するということがわかりました。

―修士論文のテーマは指導教官のアイディアがベースになっていると思うのですが、数学の研究では一般的に、どのようにして研究テーマを見つけるのでしょう。

博士課程では、修士論文で用いた計算手法のアイディアを、ほかの"由緒正しい"数学の問題に流用できないか考えてみることにしました。大学1年生のときに使っていた微分積分学の教科書をなんとなく眺めていたときに、熱方程式の解が、修士論文で研究した関数に似ていることに気づいたのです。「これで由緒正しい偏微分方程式に新しいことが見出せた!」と思ったのですが、20年前にすでに同じことを考えていた研究者がいました。そこで私は、公園の問題と熱の問題が両方とも一度にわかる、普遍的な枠組みを作ろうと思ったのです。これが博士論文のテーマとなりました。しかし、これでもまだ人のやっていることの真似ごとをやっているような気がして、何か新しいブレイクスルーがほしいと悩んでいるところではあります。